Equaz differenziale di secondo ordine
-
È passato del tempo dagli esami di analisi 2 e calcolo numerico, e non mi ricordo come risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine con coefficienti non costanti.
Per la maggior parte dei casi, alla fine della risoluzione di un problema, ottengo un'equaz differenziale del primo ordine con coefficienti costanti, ed integrarla (per separazione di variabili) non mi crea problemi, ma in questo caso non mi ricordo come fare.
L'equazione è:
d^2 (J) / d (y)^2 = - k c (y)
Dove al secondo membro il "c" è funzione di y, mentre k è costante.
Da regola (???) dovrei sostituire a "c" un'equazione, ma quale? La stessa non è ricavabile dal problema, ma sembra che la debba conoscere da regole matematiche :cheazz:
Poi la risoluzione la completo conoscendo le condizioni al contorno.
Avete qualche idea?
ciao
-
È passato del tempo dagli esami di analisi 2 e calcolo numerico, e non mi ricordo come risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine con coefficienti non costanti.
Per la maggior parte dei casi, alla fine della risoluzione di un problema, ottengo un'equaz differenziale del primo ordine con coefficienti costanti, ed integrarla (per separazione di variabili) non mi crea problemi, ma in questo caso non mi ricordo come fare.
L'equazione è:
d^2 (J) / d (y)^2 = - k c (y)
Dove al secondo membro il "c" è funzione di y, mentre k è costante.
Da regola (???) dovrei sostituire a "c" un'equazione, ma quale? La stessa non è ricavabile dal problema, ma sembra che la debba conoscere da regole matematiche :cheazz:
Poi la risoluzione la completo conoscendo le condizioni al contorno.
Avete qualche idea?
ciao
-
se non ricordo male le equazioni solite erano due: esponenziale oppure seno/coseno...
-
Sono a metà lettura, ho iniziato a sudare freddo e comincio anche a notare delle piccole macchioline rosse sugli avambracci...sarà meglio che mi defilo. Sorry.
P.S. Matematica, che brutti ricordi.
-
apix_1024 ha scritto:
se non ricordo male le equazioni solite erano due: esponenziale oppure seno/coseno...
Immagino si tratti di un'equaz esponenziale (nel mio caso), ma non so come impostarla. Del tipo: A + B exp (y) ??
Con quali criteri?
La stessa immagino che debba già rispettare i limiti imposti (condizioni al contorno), no?
Non riesco a trovare esaurienti spiegazioni su un'equaz simile
P.S. Matematica, che brutti ricordi.Dai sghe23, analisi è brutta solo quando gli eserc non ti vengono
Grazie
ciao
-
tratto da wiki Equazioni differenziali lineari del secondo ordine - Wikipedia
Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti variabili [modifica]
L'omogenea associata [modifica]
dove a(x),b(x) sono funzioni continue in un intervallo dell'asse reale.La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo (3) come già visto nella sezione precedente.
L'equazione completa [modifica]
dove a(x),b(x) sono funzioni continue in un intervallo reale. Sappiamo che la soluzione particolare va sommata alla soluzione dell'omogenea associata.In questo caso si può usare il metodo delle variazioni delle costanti.
Cerchiamo una soluzione dello stesso tipo di quella dell'omogenea considerando però le costanti come funzioni:
dove y1 e y2 sono due soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata (2) (due soluzioni sono tra loro indipendenti se il loro rapporto NON è costante). Dal momento che y1 e y2 sono note e le funzioni c1 e c2 incognite, queste ultime vanno determinate in modo che (9) soddisfi l'equazione completa (1). Inoltre, poiché le funzioni da determinare sono due, si puo' imporre una seconda condizione su c1 e c2 a proprio piacimento. Si scelga:
Derivando la (9) due volte e utilizzando la (10):
Sostituendo nella (1):
Abbiamo così un sistema nelle incognite 
:
Una volta ricavati (e' dimostrabile che questo risulta sempre fattibile data l'indipendenza delle soluzioni y1 e y2), si ricavano 
. Infine la soluzione sarà:
e quella completa sarà:
-
Wiki già l'avevo visto, ma non riesco comunque ad arrivare ad una soluzione
ciao
-
Fammi capire bene....
Tu hai la derivata seconda della funzione J(y) che dev'essere uguale a -k per c(y) giusto?....
Potresti risolvere l'eq omogenea..e poi trovare la situazione particolare...
-
Il fatto è che anche J è il prodotto di un differenziale...
Esplicitando la funzione J, viene questo:
Non mi ricordo se è lo stesso k, ma poco importa; sono comunque indipendenti da y.
Ora non so se mi conviene sostituirla la funzione J dato che ho una condizione limite proprio sul J. Essendo di secondo grado, devo avere due condizioni limite: per y=0 ho un certo "c" e per y=s ho un J=0. Se sostituisco J non ho più questa condizione; inoltre verrebbe di terzo grado.
Teniamoci il J quindi.
Non ho capito cosa dovrei fare... :cheazz:
Grazie, ciao
-
beh a me mi pare che c(y) può essere qualsiasi cosa
non hai maggiore specifiche su c(y)??
altrimenti ci vuole la palla di vetro...
cmq intanto sai che c(y=s)=0 (per K diverso da 0)
-
Io la terrei alle derivate terza....
La soluzione potrebbe essere una soluzione....(metodo seminverso rulez)....c(y)=Ae^(-By)...
Per le condizioni al contorno avresti una condizione sulla derivata ovvero che J è la derivata di c(y) e due sul valore e quindi saresti a cavallo....
Ciao! Sembra che tu sia interessato a questa conversazione, ma non hai ancora un account.
Stanco di dover scorrere gli stessi post a ogni visita? Quando registri un account, tornerai sempre esattamente dove eri rimasto e potrai scegliere di essere avvisato delle nuove risposte (tramite email o notifica push). Potrai anche salvare segnalibri e votare i post per mostrare il tuo apprezzamento agli altri membri della comunità.
Con il tuo contributo, questo post potrebbe essere ancora migliore 💗
Registrati Accedi